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Wahrscheinlichkeit von Resten

Restequantelung bei ganzzahliger Verteilung

von Klaus-Michael Becker

Untersucht wird ein Phänomen bei Restsummen, das bei allen Verteilungen auftritt, die proporzgerecht und ganzzahlig zu erfolgen haben.

Soll eine Teilmenge von N in einem bestimmten nicht notwendig ganzzahligen Verhältnis aufgeteilt werden, so entstehen in der Regel unvorhersehbare Reste.

Sind zum Beispiel 10 Kühe auf 4 Erben im Verhältnis 1:2:3:5 aufzuteilen, so entstehen die Kuhanteile 0,909 : 1,818 : 2,727 : 4,545. Müssen dagegen 100 Kühe im gleichen Verhältnis aufgeteilt werden, so entstehen die Kuhanteile 9,09 : 18,18 : 27,27 : 45,45.

Im ersten Fall erhält man die Restsumme 3 und im zweiten Fall 1.

Die Restsumme hängt offensichtlich ab von der zu verteilenden Ausgangsmenge, von der Anzahl der Anteile und vresteabb1on dem Verhältnis der Anteile zueinander. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten aber nun eigentlich die jeweiligen Restsummen 1, 2, 3, ... auf? Fehlt eine Theorie, so bietet sich seit der Verfügbarkeit von PCs eine Simulation über große Anzahlen mit schier unerschöpflichen  Variationsmöglichkeiten geradezu an. Und eine derartige Simulation kann der Theorie möglicherweise einen Weg weisen.

Zur Simulation sei ein kleines Delphi-Programm verwendet mit drei Eingangsparametern und zwar den Anzahlen für Kühe (K),  Erben (E) und  Simulationsläufen (L).  

Zu jedem Lauf werden programmintern den E Erben zufällige nicht notwendig ganzzahlige Anteile zugewiesen, was zu einer anteiligen Verteilung der K Kühe führt. Jeder Lauf liefert dabei eine Restsumme R zwischen 1 und K-1 je nach Zufälligkeit der Erbenanteile, wobei der Idealfall 0 vernachlässigt werden kann. Eine Simulation über einen konstanten E-Wert mit L Läufen führt schließlich zu einer auswertbaren Statistik und damit Verteilung der erhaltenen L Reste (Abb. 1). 

Simulationen für die Werte E = 3, 4, ..., 11, zu verschiedenen K-Werten mit jeweils L Läufen ergeben vergleichbare Statistiken. Erwartungsgemäß liefern verschiedene K-Werte signifikant übereinstimmende Statistiken. Die Tabellenwerte in Tab. 1 entstammen Statistiken mit  K = 501  und  L = 100000. Hierbei seien die Werte zu h(R) die relativen Häufigkeiten des Restes R.

 

Auf der Suche nach einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Restequantelung in guter Näherung beschreibt, wird man mit Hilfe eines Baumdiagramms (Abb. 2) fündig. Die Wahrscheinlichkeiten des Baumes in Tabellenform notiert (Tab. 2) zeigen die verblüffende und angleichungstesterhabene Übereinstimmung zu den relativen Häufigkeiten.

Der Weg zur Theorie ist hiermit gewiesen!

Ersetzt man übrigens Kühe durch Mandatsträger und Erben durch Parteien, so erfährt die Restequantelung ein hohes parteipolitisches Interesse.

(Erschienen ist dieser Artikel in der Zeitschrift  MNU 53/5, 2000.)